11-1 空間内の直線を方程式で表そう

on off 要点まとめ

  • 空間内の直線 $l$ に対し, $l$ 上の点 ${\rm A}$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{a}$, $l$ と同じ方向のベクトルを $\overrightarrow{v}$ とすると, $l$ 上の点 ${\rm P}$ の位置ベクトル $\overrightarrow{p}$ は, 変数 $t$ を用いて次のように表せる。
    $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{a} + t\overrightarrow{v}$
  • これを直線 $l$ の ベクトル方程式 という。
  • ${\rm A}$ の座標を $(x_0,y_0,z_0)$, $\overrightarrow{v} = (v_x,v_y,v_z)$ とすると, ${\rm P}$ の座標は次のように表せる。
    $\begin{cases} x = x_0 +tv_x \\ y = y_0 +tv_y \\ z = z_0 +tv_z \\ \end{cases}$
  • これを $l$ の 媒介変数表示 という。
  • 特に, $v_x,v_y,v_z \not=0$ の時, 上の式から $t$ を消去すると $l$ の方程式は次のように表せる。

    $\dfrac{x-x_0}{v_x} = \dfrac{y-y_0}{v_y} = \dfrac{z-z_0}{v_z}$