行列式の図形への応用 例題

$Q1$

$3$ 点 ${\rm A}(2,3)$, ${\rm B}(-3,2)$, ${\rm C}(4,-1)$ を頂点とする三角形の面積を求めなさい。

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$11$

$2$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ の成分表示は

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-5, -1),~~\overrightarrow{{\rm AC}} = (2,-4)$

となります。この時, 三角形の面積 $S$ は $2$ つのベクトルが作る平行四辺形の面積の半分の大きさなので

$S = \dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = \dfrac{1}{2}(20+2) = 11$

となります。

$Q2$

次の $3$ つのベクトルで作られる四面体の体積を求めなさい。

$\overrightarrow{a} = (-1,4,-2)$

$\overrightarrow{b} = (-3,-4,4)$

$\overrightarrow{c} = (0,0,1)$

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$\dfrac{8}{3}$

$3$ つのベクトルから作られる行列

$\begin{pmatrix} -1 & -3 & 0 \\ 4 & -4 & 0 \\ -2 & 4 & 1\end{pmatrix}$

の行列式(の絶対値)を $\dfrac{1}{6}$ 倍した値が求める四面体の体積になります。

よって四面体の体積を $V$ とすると

$V = \dfrac{1}{6} \begin{vmatrix} -1 & -3 & 0 \\ 4 & -4 & 0 \\ -2 & 4 & 1 \end{vmatrix} = \dfrac{1}{6} \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 4 & -4 \end{vmatrix} =\dfrac{8}{3}$

となります。