絶対値と平方根 例題

$Q1$

次の循環小数を既約分数に直しなさい。

(1) $0.\dot{3}$

(2) $1.\dot{2}\dot{3}$

(3) $4.\dot{3}2\dot{1}$

(4) $0.\dot{9}$

on off 解答・解説を見る

(1) $\dfrac{1}{3}$

(2) $\dfrac{122}{99}$

(3) $\dfrac{1439}{333}$

(4) $1$

(1)
$x = 0.\dot{3}$ とおくと, $10x = 3.\dot{3}$ であるから

$10x -x = 3.\dot{3} -0.\dot{3} = 3$

よって $9x = 3$ より $x = \dfrac{1}{3}$ となります。

(2)
$x = 1.\dot{2}\dot{3}$ とおくと, $100x = 123.\dot{2}\dot{3}$ であるから

$100x -x = 123.\dot{2}\dot{3} -1.\dot{2}\dot{3} = 122$

よって $99x = 122$ より $x = \dfrac{122}{99}$ となります。

(3)
$x = 4.\dot{3}2\dot{1}$ とおくと, $1000x = 4321.\dot{3}2\dot{1}$ であるから

$1000x -x = 4321.\dot{3}2\dot{1} -4.\dot{3}2\dot{1} = 4317$

よって $x = \dfrac{4317}{999} = \dfrac{1439}{333}$ となります。

(4)
$x = 0.\dot{9}$ とおくと, $10x = 9.\dot{9}$ であるから

$10x -x = 9.\dot{9} -0.\dot{9} = 9$

よって $9x = 9$ より $x = 1$ となります。

$Q2$

次の値を絶対値を含まない形で表しなさい。

(1) $|-3|$

(2) $|\sqrt{2} -2|$

(3) $|3-\pi| + |5-\sqrt{3}|$

on off 解答・解説を見る

(1) $3$

(2) $2-\sqrt{2}$

(3) $\pi+2-\sqrt{3}$

絶対値の中が正の値か, 負の値かを判断しましょう。

(1)
$-3 \lt 0$ なので $|-3| = -(-3) = 3$ となります。

(2)
$\sqrt{2} = 1.4142\ldots$ なので $\sqrt{2} -2 \lt 0$ であることがわかります。よって

$|\sqrt{2}-2| = -(\sqrt{2}-2)=2-\sqrt{2}$

となります。

(3)
まず $\pi = 3.1415\ldots$ なので $3-\pi \lt 0$ となります。

また, $\sqrt{3} = 1.732\ldots$ なので $5-\sqrt{3} \gt 0$ であることがわかります。よって

$\begin{eqnarray*}|3-\pi| + |5-\sqrt{3}| & = & -(3-\pi) + (5-\sqrt{3}) \\[0.5em] & = & (\pi -3) +(5-\sqrt{3}) = \pi+2-\sqrt{3}\end{eqnarray*}$

$Q3$

次の式を計算し, 整理しなさい。

(1) $\left(\sqrt{5} \right)^2$

(2) $\left(\sqrt{3} \right)^7$

(3) $\sqrt{49}$

(4) $\sqrt{72}$

(5) $\sqrt{12} + \sqrt{48} + \sqrt{50}$

(6) $\left(3\sqrt{6} +\sqrt{5} \right) \left( 4\sqrt{3} + \sqrt{10}\right)$

on off 解答・解説を見る

(1) $5$

(2) $27\sqrt{3}$

(3) $7$

(4) $6\sqrt{2}$

(5) $6\sqrt{3} + 5\sqrt{2}$

(6) $41\sqrt{2} + 10\sqrt{15}$

(1)
$2$ 乗して $a$ になる正の数を $\sqrt{a}$ と表すので, $\sqrt{5}$ を $2$ 乗すると $5$ になります。

$\left( \sqrt{5}\right)^2 = 5$

(2)
$\left( \sqrt{3} \right)^2 = 3$ であるから, 指数法則に注意すると

$\begin{eqnarray*} \left( \sqrt{3} \right)^7= \left( \sqrt{3} \right)^{2\times 3 + 1} & = & \left( \left( \sqrt{3}\right)^2 \right)^3\times \sqrt{3}\\[0.5em] & = & 3^3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}\end{eqnarray*}$

(3)
$a \gt 0$ のとき, $2$ 乗して $a^2$ になる数は $a$ なので $\sqrt{a^2}=a$ が成り立ちます。よって

$\sqrt{49} = \sqrt{7^2} = 7$

(4)
$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ を利用します。

$\sqrt{72} = \sqrt{36\times 2} = \sqrt{36}\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

(5)
一般に, $2$ つの平方根の中の値が異なる時は, その和や差は簡単に計算することはできません。

それ以上整理することができないので, 和や差はそのまま書き表します。

$\begin{eqnarray*}\sqrt{12} + \sqrt{48} + \sqrt{50} & = & \sqrt{4}\sqrt{3} + \sqrt{16}\sqrt{3} + \sqrt{25}\sqrt{2}\\[0.5em] & = & 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 5\sqrt{2}\\[0.5em] & = & (2+4)\sqrt{3} + 5\sqrt{2}\\[0.5em] & = & 6\sqrt{3} +5\sqrt{2}\end{eqnarray*}$

(6)
展開し, $2$ 乗の項が現れたら根号を外して整理します。

$\begin{eqnarray*}\left(3\sqrt{6} +\sqrt{5} \right) \left( 4\sqrt{3} + \sqrt{10}\right) & = & 12\sqrt{6}\sqrt{3} + 3\sqrt{6}\sqrt{10} + 4\sqrt{5}\sqrt{3} + \sqrt{5}\sqrt{10}\\[1em] & = & 12\sqrt{18} + 3\sqrt{60} + 4\sqrt{15} + \sqrt{50}\\[1em] & = & 12\sqrt{3^2}\sqrt{2} + 3\sqrt{2^2}\sqrt{15} + 4\sqrt{15} + \sqrt{5^2}\sqrt{2}\\[1em] & = & 36\sqrt{2} + 6\sqrt{15} + 4\sqrt{15} + 5\sqrt{2}\\[1em] & = & 41\sqrt{2} + 10\sqrt{15}\end{eqnarray*}$

$Q4$

次の式を $2$ 重根号を外して整理しなさい。

(1) $\sqrt{ 10 + 2\sqrt{21} }$

(2) $\sqrt{ 12-4\sqrt{5} }$

(3) $\sqrt{ 4 -\sqrt{15} }$

on off 解答・解説を見る

(1) $\sqrt{3} + \sqrt{7}$

(2) $\sqrt{10} -\sqrt{2}$

(3) $\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{5} -\sqrt{3})}{2}$

(1)

$\sqrt{ (a+b) +2\sqrt{ab} } =\sqrt{ \left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^2 }= \sqrt{a}+\sqrt{b}$

が成り立ちます。

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ 10 + 2\sqrt{21} } & = & \sqrt{ (3+7) +2\sqrt{2\times 7} }\\[1em] & = & \sqrt{ \left(\sqrt{3} +\sqrt{7} \right)^2 }\\[1em] & = & \sqrt{3} + \sqrt{7}\end{eqnarray*}$

(2)

$\sqrt{ (a+b) -2\sqrt{ab} } =\sqrt{ \left(\sqrt{a} -\sqrt{b} \right)^2 }= \left| \sqrt{a} -\sqrt{b}\right|$

が成り立ちます。正の値なので絶対値がつくことに注意しましょう。

また, $4\sqrt{5}$ を $4\sqrt{5} = 2\sqrt{20}$ と表すのもポイントです。

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ 12 -4\sqrt{5} } & = & \sqrt{ 12 -2\sqrt{2^2\times 5} }\\[1em] & = & \sqrt{ 12 -2\sqrt{20} }\\[1em] & = & \sqrt{(2+10) -2\sqrt{2\times 10} }\\[1em] & = & \sqrt{ \left(\sqrt{2} -\sqrt{10} \right)^2 }\\[1em] & = & \left| \sqrt{2} -\sqrt{10} \right| \\[1em] & = & \sqrt{10} -\sqrt{2}\end{eqnarray*}$

(3)
一見, 公式の形になっていなくても, 変形して公式の形に直せないか考えましょう。

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ 4 -\sqrt{15} } & = & \dfrac{2\sqrt{ 4 -\sqrt{15}}}{2}\\[1em] & = & \dfrac{\sqrt{2} \sqrt{2(4-\sqrt{15})}}{2}\\[1em] & = & \dfrac{\sqrt{2} \sqrt{8 -2\sqrt{15}}}{2}\\[1em] & = & \dfrac{\sqrt{2} \sqrt{(3+5) -2\sqrt{3\times 5}}}{2}\\[1em] & = & \dfrac{\sqrt{2} \left| \sqrt{3} -\sqrt{5} \right|}{2} \\[1em] & = & \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{5} -\sqrt{3})}{2} \end{eqnarray*}$

$Q5$

次の式の分母を有理化して整理しなさい。

(1) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

(2) $\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{6}}$

(3) $\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2} }{\sqrt{3} -\sqrt{2}}$

(4) $\dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} }$

on off 解答・解説を見る

(1) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\dfrac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{6}$

(3) $5 + 2\sqrt{6}$

(4) $\dfrac{7\sqrt{2} + 5\sqrt{3}-\sqrt{6} -12 }{23}$

(1)
分子と分母に $\sqrt{2}$ を掛けます。

$\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\left( \sqrt{2} \right)^2 } = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

(2)
分子と分母に $\sqrt{6}$ をかけて整理します。

$\dfrac{ \sqrt{2} + \sqrt{3} }{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{6} = \dfrac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{6}$

(3)
$(a+b)(a-b) = a^2 -b^2$ を利用しましょう。

$\begin{eqnarray*} \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2} }{\sqrt{3} -\sqrt{2}} & = & \dfrac{\left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)^2}{\left( \sqrt{3} -\sqrt{2} \right) \left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)}\\[1em] & = & \dfrac{\left( \sqrt{3}\right)^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + \left( \sqrt{2}\right)^2 }{\left( \sqrt{3} \right)^2 -\left( \sqrt{2} \right)^2 }\\[1em] & = & \dfrac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{3-2}\\[1em] & = & 5 + 2\sqrt{6}\end{eqnarray*}$

(4)
有理化の計算を $2$ 回行います。

まず, 分子と分母に $\left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) -\sqrt{6}$ を掛けると

$\begin{eqnarray*}\dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}} & = & \dfrac{\left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) -\sqrt{6}}{\left( (\sqrt{2} + \sqrt{3}) +\sqrt{5} \right)\left( (\sqrt{2} + \sqrt{3}) -\sqrt{5} \right) }\\[1em] & = & \dfrac{ \sqrt{2} + \sqrt{3} -\sqrt{6}}{ \left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)^2 -\left( \sqrt{6} \right)^2}\\[1em] & = & \dfrac{ \sqrt{2} + \sqrt{3} -\sqrt{6}}{(5 + 2\sqrt{6}) -6}\\[1em] & = & \dfrac{ \sqrt{2} + \sqrt{3} -\sqrt{6}}{2\sqrt{6} -1}\end{eqnarray*}$

さらに分子と分母に $2\sqrt{6}+1$ を掛けます。

$\begin{eqnarray*}\dfrac{ \sqrt{2} + \sqrt{3} -\sqrt{6}}{2\sqrt{6} -1} & = & \dfrac{\left( \sqrt{2} + \sqrt{3} -\sqrt{6} \right)\left( 2\sqrt{6}+1 \right)}{(2\sqrt{6} -1)(2\sqrt{6}+1)}\\[1em] & = & \dfrac{2\sqrt{6} \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} -\sqrt{6}\right) + \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} -\sqrt{6} \right)}{\left( 2\sqrt{6} \right)^2-1^2}\\[1em] & = & \dfrac{\left( 4\sqrt{3} + 6\sqrt{2} -12\right) + \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} -\sqrt{6} \right)}{24-1}\\[1em] & = & \dfrac{7\sqrt{2} + 5\sqrt{3}-\sqrt{6} -12 }{23}\end{eqnarray*}$