空間ベクトルの線形独立・線形従属 例題

$Q1$

次の $3$ つのベクトルは線形独立か線形従属か判定しなさい。

(1) $(1,-1,1)$, $(2,0,2)$, $(1,1,0)$

(2) $(0,-2,1)$, $(-1,3,-1)$, $(-2,0,1)$

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(1) 線形独立

(2) 線形従属

$3$ つの空間ベクトルは, 全ての空間ベクトルがそれらの線形結合でただ一通りに表せるときに線形独立といいます。

(1)
任意の空間ベクトル $\overrightarrow{p} = (x,y,z)$ に対し

$(x,y,z) = s(1,-1,1) + t(2,0,2) + u(1,1,0)$

とすると

$\begin{eqnarray} x &=& s + 2t + u ~\cdots(1)\\ y &=& -s + u ~\cdots(2)\\ z &=& s + 2t ~~\cdots(3) \end{eqnarray}$

$(1)-(3)$ より

$u = x-z ~ \cdots(4)$

$(4)$ を $(2)$ に代入すると

$s = x-y-z ~\cdots(5)$

$(5)$ を $(3)$ に代入すれば

$2t = -x+y+2z~\cdots(6)$

よって $(4)$, $(5)$, $(6)$ より

$\left\{ \begin{eqnarray*} s & = & x-y-z \\ t & = & -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}y + z\\ u & = & x-z \end{eqnarray*} \right.$

上の式から $\overrightarrow{p}=(x,y,z)$ が決まると, それによって $s$, $t$, $u$ がただ一通りに決まることがわかります。

よってこれら $3$ つのベクトルは線形独立です。

(2)
$\overrightarrow{p} = (1,0,0)$ とし

$(1,0,0) = s(0,-2,1) + t(-1,3,-1) + u(-2,0,1)$

とすると

$\begin{eqnarray} 1 &=& -t -2u ~\cdots(1)\\ 0 &=& -2s + 3t ~\cdots(2)\\ 0 &=& s -t + u ~\cdots(3) \end{eqnarray}$

$(2) + 2\cdot(3)$ より

$t + 2u = 0 ~\cdots(4)$

$(1)$ より

$1 =-t-2u = -(t+2u) = 0$

この式は成り立たないので $\overrightarrow{p} = (1,0,0)$ はこの $3$ つのベクトルの線形結合で表すことができません。

$3$ つのベクトルの線形結合で表せない空間ベクトルが存在するので, これらのベクトルは線形従属です。

【別解】

$(-2,0,1) = 3(0,-2,1) + 2(-1,3,-1)$

であり, $(-2,0,1)$ が残りの $2$ つの線形結合で表せるので, これらのベクトルは線形従属です。

$Q2$

四面体 ${\rm OABC}$ の辺 ${\rm OA}$, ${\rm AB}$, ${\rm BC}$ 上にそれぞれ

${\rm OP:PA} ={\rm AQ:QB} = {\rm BR:RC}= 1:2$

となるようにそれぞれ点 ${\rm P}$, ${\rm Q}$, ${\rm R}$ をとる。

${\rm P}$, ${\rm Q}$, ${\rm R}$ を通る平面と辺 ${\rm OC}$ の交点を ${\rm S}$ とした時, ${\rm OS}:{\rm SC}$ を求めなさい。

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$1:8$

$\overrightarrow{{\rm OA}} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{{\rm OB}} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{{\rm OC}} = \overrightarrow{c}$ とし, $\overrightarrow{{\rm OS}} = s\overrightarrow{c}$ とします。

${\rm OP:PA} =1:2$ であるから

$\overrightarrow{{\rm OP}} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} ~ \cdots(1)$

また ${\rm AQ:QB} = 1:2$ より

$\overrightarrow{{\rm OQ}} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b} ~ \cdots(2)$

${\rm BR:RC} = 1:2$ より

$\overrightarrow{{\rm OR}} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{c} ~ \cdots(3)$

$4$ 点 ${\rm P}$, ${\rm Q}$, ${\rm R}$, ${\rm S}$ は同一平面上にあるので, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm PQ}}$, $\overrightarrow{{\rm PR}}$, $\overrightarrow{{\rm PS}}$ は線形従属になります。

特に $\overrightarrow{{\rm PQ}}$ と $\overrightarrow{{\rm PR}}$ は平行ではないので $\overrightarrow{{\rm PS}}$ は $\overrightarrow{{\rm PQ}}$ と $\overrightarrow{{\rm PR}}$ の線形結合で表すことができます。

$\overrightarrow{{\rm PS}} = m\overrightarrow{{\rm PQ}} + n\overrightarrow{{\rm PR}}$

とし, 始点を ${\rm O}$ にして表すと

$\overrightarrow{{\rm OS}} -\overrightarrow{{\rm OP}} = m\left( \overrightarrow{{\rm OQ}} -\overrightarrow{{\rm OP}}\right) +n \left(\overrightarrow{{\rm OR}} -\overrightarrow{{\rm OP}}\right)$

$\overrightarrow{{\rm OS}} = s\overrightarrow{c}$ と $(1)$, $(2)$, $(3)$ をそれぞれ代入すると

$s\overrightarrow{c} -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} = m\left( \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\right) + n \left( -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{c}\right)$

両辺を $3$ 倍し整理すると

$\left( m-n + 1\right)\overrightarrow{a} + \left(m+2n \right)\overrightarrow{b} + \left( n-3s\right)\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$

ここで $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立なので

$\left\{ \begin{eqnarray*} m-n+1 & = & 0\\ m+2n & = & 0\\ n -3s & = & 0 \end{eqnarray*} \right.$

この連立方程式を解くと $s = \dfrac{1}{9}$ となります。

$\overrightarrow{{\rm OS}} = \dfrac{1}{9}\overrightarrow{{\rm OC}}$ より ${\rm OS}:{\rm SC} = 1:8$ となります。