微分係数 例題

$Q1$

$x$ の値が $1$ から $3$ まで変化する時, $f(x)=x^2-3x+1$ の平均変化率を求めなさい。

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$1$

$x$ が $a$ から $b$ まで変化する時, $f(x)$ の平均変化率は

$\dfrac{ f(b) -f(a) }{ b-a }$

で表されます。よって

$\dfrac{f(3) -f(1)}{3-1} = \dfrac{(9-9+1) -(1-3+1)}{2} = 1$

$Q2$

$1$ 次関数 $f(x) = mx+n$ の $x=a$ における微分係数は $a$ の値に依らず $m$ であることを確認しなさい。

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微分係数の定義通りに計算すると

$\begin{eqnarray*} f'(a) & = & \lim_{h \to 0}\dfrac{f(a+h) -f(a)}{h}\\[1em] & = & \lim_{h \to 0}\dfrac{(m(a+h) + n) -(ma+n)}{h}\\[1em] & = & \lim_{h \to 0}\dfrac{mh}{h} = \lim_{h \to 0}m =m\end{eqnarray*}$

よって $1$ 次関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数は $a$ の値に依らず $f(x)$ の傾きに等しい。

$Q3$

$f(x)=x^2$ の $x=a$ における微分係数を $a$ を用いて表しなさい。

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$2a$

微分係数の定義通りに計算すると

$\begin{eqnarray*} f'(a) & = & \lim_{h \to 0}\dfrac{f(a+h) -f(a)}{h}\\[1em] & = & \lim_{h\to 0} \dfrac{(a+h)^2 -a^2}{h}\\[1em] & = & \lim_{h \to 0} \dfrac{(a^2+2ah +h^2) -a^2}{h}\\[1em] & = & \lim_{h \to 0} \dfrac{2ah + h^2}{h}\\[1em] & = & \lim_{h \to 0} (2a+h) = 2a \end{eqnarray*}$

よって $f'(a) = 2a$ となります。

$Q4$

関数 $f(x)=4x^2 -7x +1$ のグラフ上の点 $(2,3)$ における接線の傾きを求めなさい。

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$9$

関数 $f(x)$ のグラフ上の点 $(a,f(a))$ における接線の傾きは, $x=a$ における微分係数と等しくなります。

よって求める接線の傾きは $f'(2)$ に等しいので

$\begin{eqnarray*} f'(2) & = & \lim_{x \to 2}\dfrac{f(x) -f(2)}{x-2}\\[1em] & = & \lim_{x\to 2} \dfrac{(4x^2 -7x +1) -3}{x-2}\\[1em] & = & \lim_{x \to 2} \dfrac{4x^2 -7x -2}{x-2}\\[1em] & = & \lim_{x \to 2} \dfrac{(4x +1)(x-2)}{x-2}\\[1em] & = & \lim_{x \to 2} (4x+1) = 9 \end{eqnarray*}$

よって 接線の傾きは $9$ になります。