対称行列の対角化 例題

$Q1$

次の対称行列の固有値と固有ベクトルを求め, 直交行列により対角化しなさい。

$A = \begin{pmatrix} 8 & 8 \\ 8 & -4 \end{pmatrix}$

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固有値 $\lambda = -8$, 固有ベクトル $\overrightarrow{x_1} = c_1\begin{pmatrix}1 \\ -2 \end{pmatrix}~~(c_1 = \not=0)$

固有値 $\lambda = 12$, 固有ベクトル $\overrightarrow{x_2} = c_2\begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix}~~(c_2 = \not=0)$

対角化行列 $T = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix}1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

${}^t\!TAT = \begin{pmatrix}-8 & 0 \\ 0 & 12 \end{pmatrix}$

$|\lambda E -A|=0$ とすると

$\begin{eqnarray*} |\lambda E -A| & = & \begin{vmatrix} \lambda -8 & -8 \\ -8 & \lambda + 4 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \lambda^2 -4\lambda -96\\[0.5em] & = & (\lambda +8)(\lambda -12)=0 \end{eqnarray*}$

よって $\lambda = -8,12$ となります。

$\lambda = -8$ の時

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -16 & -8 \\ -8 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -16x -8y \\ -8x -4y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

より $y = -2x$ なので, 固有ベクトルは

$\overrightarrow{x_1} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} ~~ (c_1 \not=0)$

また $\lambda = 12$ の時

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & -8 \\ -8 & 16\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 4x -8y \\ -8x +16y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

より $x = 2y$ なので, 固有ベクトルは

$\overrightarrow{x_2} = c_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} ~~ (c_2 \not=0)$

となります。

直交行列を作るには, 各固有ベクトルの大きさを $1$ にすればよいから, 対角化行列 $T$ は

$T = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

とすればよく, この時

$\begin{eqnarray*}{}^t\!TAT & = & \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & 8 \\ 8 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} & = & \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -8 & 24 \\ 16 & 12 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix} -40 & 0 \\ 0 & 60 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 0 \\ 0 & 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

となるので直交行列で対角化できていることがわかります。

$Q2$

次の対称行列の固有値と固有ベクトルを求め, 直交行列により対角化しなさい。

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

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固有値 $\lambda = -2$, 固有ベクトル $\overrightarrow{x_1} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}~~(c_1\not=0)$

固有値 $\lambda = 2$, 固有ベクトル $\overrightarrow{x_2} = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}~~(c_2\not=0)$

固有値 $\lambda = 7$, 固有ベクトル $\overrightarrow{x_3} = c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}~~(c_3\not=0)$

対角化行列 $T = \dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}1 & \sqrt{3} & \sqrt{2} \\ 1 & -\sqrt{3} & \sqrt{2} \\ -2 & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$

${}^t\!TAT = \begin{pmatrix}-2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$

$|\lambda E -A|=0$ とすると

$\begin{eqnarray*} |\lambda E -A| & = & \begin{vmatrix} \lambda -3 & -1 & -3 \\ -1 & \lambda -3 & -3 \\ -3 & -3 & \lambda -1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \lambda^3 -7\lambda^2 -4\lambda + 28\\[0.5em] & = & (\lambda +2)(\lambda -2)(\lambda -7)=0 \end{eqnarray*}$

よって $\lambda = -2,2,7$ となります。

$\lambda = -2$ の時

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 & -1 & -3 \\ -1 & -5 & -3 \\ -3 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -5x -y -3z \\ -x -5y -3z \\ -3x -3y -3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

これを解くと, $x = y$, $z = -2x$ となるので, 固有ベクトルは

$\overrightarrow{x_1} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} ~~ (c_1 \not=0)$

となります。また $\lambda = 2$ の時

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & -3 \\ -3 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -x -y -3z \\ -x -y -3z \\ -3x -3y + z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

これを解くと $y = -x$, $z=0$ となるので, 固有ベクトルは

$\overrightarrow{x_2} = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} ~~ (c_2 \not=0)$

となります。最後に $\lambda=7$ の時

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & -1 & -3 \\ -1 & 4 & -3 \\ -3 & -3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 4x -y -3z \\ -x +4y -3z \\ -3x -3y + 6z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

これを解くと $x = y$, $z=-x$ となるので, 固有ベクトルは

$\overrightarrow{x_3} = c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} ~~ (c_3 \not=0)$

となります。

直交行列を作るには, 各固有ベクトルの大きさを $1$ にすればよいから, 対角化行列 $T$ は

$T =\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{6}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ -\dfrac{2}{\sqrt{6}} & 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} = \dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{3} & \sqrt{2} \\ 1 & -\sqrt{3} & \sqrt{2} \\ -2 & 0 & -\sqrt{2} \end{pmatrix}$

とすればよく, この時

${}^t\!TAT = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$

が成り立ちます。

$Q3$

次の対称行列の固有値と固有ベクトルを求め, 直交行列により対角化しなさい。

$A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -4 \\ -2 & -1 & 4 \\ -4 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

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固有値 $\lambda = -3$, 固有ベクトル $\overrightarrow{x_1} = c_1\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ~~(c_1\not=0$ または $c_2\not=0)$

固有値 $\lambda = 9$, 固有ベクトル $\overrightarrow{x_3} = c_3\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}~~(c_3\not=0)$

対角化行列 $T = \dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & \sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{3} & -\sqrt{2} & -1\\ 0 & \sqrt{2} & -2 \end{pmatrix}$

${}^t\!TAT = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$

$|\lambda E -A|=0$ とすると

$\begin{eqnarray*} |\lambda E -A| & = & \begin{vmatrix} \lambda + 1 & 2 & 4 \\ 2 & \lambda + 1 & -4 \\ 4 & -4 & \lambda -5 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \lambda^3 -3\lambda^2 -45\lambda -81\\[0.5em] & = & (\lambda +3)^2(\lambda -9)=0 \end{eqnarray*}$

よって $\lambda = -3,9$ となります。

$\lambda = -3$ の時

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 2 & 4 \\ 2 & -2 & -4 \\ 4 & -4 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -2x +2y +4z \\ 2x -2y -4z \\ 4x -4y -8z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

これを解くと, $x = y + 2z$ となるので, 固有ベクトルは

$\overrightarrow{x_1} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} ~~(c_1 \not=0)$ または $c_2\not=0)$

となります。また $\lambda = 9$ の時

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 & 2 & 4 \\ 2 & 10 & -4 \\ 4 & -4 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 10x +2y +4z \\ 2x +10y -4z \\ 4x -4y + 4z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

これを解くと $y = -x$, $z=-2x$ となるので, 固有ベクトルは

$\overrightarrow{x_3} = c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} ~~ (c_3 \not=0)$

となります。

ここで $3$ つの線形独立な固有ベクトル $\overrightarrow{a_1}$, $\overrightarrow{a_2}$, $\overrightarrow{a_3}$ を

$\overrightarrow{a_1} = \begin{pmatrix} 1 \\1 \\ 0\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{a_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{a_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix}$

とすると $\overrightarrow{a_1} \cdot \overrightarrow{a_2} = 2$ より, $\overrightarrow{a_1}$ と $\overrightarrow{a_2}$ は直交していないことがわかります。

なのでこれらのベクトルを並べた行列は直交行列にはなりません。(対角化行列ではあります。)

そこで, グラムシュミットの直交化法を用いて互いに直交する (大きさが $1$ の) 固有ベクトルを作っていきます。

$\overrightarrow{v_1} = \dfrac{\overrightarrow{a_1}}{|\overrightarrow{a_1}|} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\1 \\ 0 \end{pmatrix}$

とし $\overrightarrow{u_2} = \overrightarrow{a_2} -(\overrightarrow{a_2}\cdot \overrightarrow{v_1})\overrightarrow{v_1}$ とすると

$\overrightarrow{u_2} = \begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix}$

よって

$\overrightarrow{v_2} = \dfrac{\overrightarrow{u_2}}{|\overrightarrow{u_2}|} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{a_3}$ は $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ と最初から直交しているので大きさを $1$ にするだけでよく

$\overrightarrow{v_3} = \dfrac{\overrightarrow{a_3}}{|\overrightarrow{a_3}|} = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\-2 \end{pmatrix}$

大きさが $1$ で互いに直交する $3$ つの固有ベクトル $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$, $\overrightarrow{v_3}$ が得られたので, 対角化行列 $T$ はこれらを並べればよく

$T = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} = \dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & \sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{3} & -\sqrt{2} & -1\\ 0 & \sqrt{2} & -2 \end{pmatrix}$

となります。${}^t\!TAT$ を計算すると

$\begin{eqnarray*} {}^t\!TAT & = & \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & \sqrt{3} & 0 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2 & -4 \\ -2 & -1 & 4 \\ -4 & 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & \sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{3} & -\sqrt{2} & -1\\ 0 & \sqrt{2} & -2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & \sqrt{3} & 0 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3\sqrt{3} & -3\sqrt{2} & 9 \\ -3\sqrt{3} & 3\sqrt{2} & -9\\ 0 & -3\sqrt{2} & -18 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} -18 & 0 & 0 \\ 0 & -18 & 0 \\ 0 & 0 & 54 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

となります。