三角形への応用 例題

$Q1$

$\bigtriangleup{\rm ABC}$ は $A = 120^{\circ}$ の二等辺三角形であり, $\bigtriangleup{\rm ABC}$ の外接円は $4$ であった。
この時, ${\rm BC}$, ${\rm AB}$ の長さを求めなさい。

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${\rm BC} = 4\sqrt{3}$

${\rm AB}=4$

$\bigtriangleup{\rm ABC}$ は二等辺三角形であるから $B = C = 30^{\circ}$ になります。

外接円の半径が $4$ であるから, 正弦定理より

$\dfrac{ {\rm BC}}{\sin A} = \dfrac{ {\rm AB}}{\sin C} = 2\cdot 4 =8$

よって

${\rm BC} = 8\sin 120^{\circ} = 4\sqrt{3}$

また

${\rm AB} = 8 \sin 30^{\circ} = 4$

となります。

$Q2$

$\bigtriangleup {\rm ABC}$ において, ${\rm BC} = 8$, ${\rm CA} = 3$, $C = 60^\circ$ の時, ${\rm AB}$ の長さを求めなさい。

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${\rm AB} = 7$

余弦定理より

${\rm AB}^2 = {\rm BC}^2 + {\rm CA}^2 -2{\rm BC}\cdot {\rm CA} \cos C$

よって

$\begin{eqnarray*} {\rm AB} & = & 8^2 + 3^2 -2\cdot 8 \cdot 3 \cos 60^\circ\\[0.5em] & = & 64+9 -24 =49\end{eqnarray*}$

${\rm AB} \gt 0$ より ${\rm AB} = 7$ となります。

$Q3$

$\bigtriangleup {\rm ABC}$ において, ${\rm BC} = 8$, ${\rm CA} = 9$, ${\rm AB} = 10$ の時, $\cos A$, $\cos B$, $\cos C$ を求めなさい。

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$\cos A= \dfrac{13}{20}$

$\cos B= \dfrac{83}{160}$

$\cos C= \dfrac{5}{16}$

余弦定理より

$\cos A= \dfrac{ {\rm CA}^2 + {\rm AB}^2 -{\rm BC}^2}{2{\rm CA}\cdot {\rm AB}} = \dfrac{9^2 + 10^2 -8^2}{2\cdot 9 \cdot 10} = \dfrac{13}{20}$

$\cos B= \dfrac{ {\rm AB}^2 + {\rm BC}^2 -{\rm CA}^2}{2{\rm AB}\cdot {\rm BA}} = \dfrac{10^2 + 8^2 -9^2}{2\cdot 10 \cdot 8} = \dfrac{83}{160}$

$\cos C= \dfrac{ {\rm BA}^2 + {\rm CA}^2 -{\rm AB}^2}{2{\rm BC}\cdot {\rm CA}} = \dfrac{8^2 + 9^2 -10^2}{2\cdot 8 \cdot 9} = \dfrac{5}{16}$

$Q4$

次の $2$ 次関数のグラフと $x$ 軸との共有

$\bigtriangleup {\rm ABC}$ において, ${\rm BC} = 4$, ${\rm CA} = 5$, $C = 30^\circ$ の時, この三角形の面積 $S$ を求めなさい。

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$5$

$\bigtriangleup {\rm ABC}$ の面積 $S$ は

$S= \dfrac{1}{2}{\rm BC}\cdot {\rm CA} \sin C$

で与えられるので

$S = \dfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot 5 \cdot \dfrac{1}{2} = 5$

$Q5$

$\bigtriangleup {\rm ABC}$ において, ${\rm BC} = 8$, ${\rm CA} = 17$, ${\rm AB} = 15$ の時, この三角形の面積 $S$ を求めなさい。

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$60$

$a = {\rm BC}$, $b = {\rm CA}$, $c = {\rm AB}$ とし, $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ とすると, ヘロンの公式より

$S= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

が成り立ちます。

$s = \dfrac{8+17+15}{2} = 20$

より

$S = \sqrt{20\cdot(20-8)\cdot(20-17)\cdot(20-15)} = \sqrt{3600} = 60$

よって $S = 60$ となります。