べき関数 例題

$Q1$

次の関数は偶関数か奇関数か判定しなさい。

(1) $y=x$

(2) $y=x^2$

(3) $y=x+x^3+x^5$

(4) $y=2$

(5) $y=x^2+1$

(6) $y=x^3+1$

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(1) 奇関数

(2) 偶関数

(3) 奇関数

(4) 偶関数

(5) 偶関数

(6) どちらでもない

関数 $y = f(x)$ は

全ての $x$ で $f(-x) = -f(x)$ の時, 奇関数

全ての $x$ で $f(-x)=f(x)$ の時, 偶関数

といいます。

(1)
$f(x) = x$ とすると

$f(-x) = -x = -f(x)$

よって $y=x$ は奇関数です。

(2)
$f(x) = x^2$ とすると

$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$

よって $y=x^2$ は偶関数です。

(3)
$f(x) = x + x^3 + x^5$ とすると

$\begin{eqnarray*} f(-x) & = & (-x) + (-x)^3 + (-x)^5\\[0.5em] & = & -x -x^3 -x^5\\[0.5em] & = & -(x + x^3 + x^5) = -f(x)\end{eqnarray*}$

よって $y=x + x^3 +x^5$ は奇関数です。

(4)
$f(x) = 2$ とすると

$f(-x) = 2 = f(x)$

よって $y=2$ は偶関数です。

(5)
$f(x) = x^2 + 1$ とすると

$f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2+1 = f(x)$

よって $y=x^2 +1$ は偶関数です。

(6)
$f(x) = x^3 + 1$ とすると

$f(-1) = (-1)^3 + 1 = 0$

であり, また

$f(1) = 1+ 1=2$

であるから $f(-1) \not= \pm f(1)$, となるので $y= x^3+1$ は奇関数でも偶関数でもありません。

$Q2$

次の $2$ つの関数のグラフの位置関係を答えなさい。

$y = x^2 + 4x + 2 \cdots (1)$

$y = x^2 -6x + 1 \cdots (2)$

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$(2)$ のグラフは $(1)$ のグラフを $x$ 軸方向に $5$, $y$ 軸方向に $-6$ だけ平行移動したものである。

$(1)$ の右辺を平方完成すると

$\begin{eqnarray*}y & = & x^2 + 4x + 2\\[0.5em] & = & (x+2)^2 -2\end{eqnarray*}$

同様に $(2)$ の右辺も平方完成すると

$\begin{eqnarray*}y & = & x^2 – 6x + 1\\[0.5em] & = & (x-3)^2 -8\end{eqnarray*}$

よって $(1)$ のグラフを $x$ 軸方向に $5$, $y$ 軸方向に $-6$ だけ平行移動した曲線は

$y = ((x-5) +2)^2-2 -6 = (x-3)^2 -8$

となり, $(2)$ のグラフと一致することがわかります。